Question

1．直线y=kx+1与圆x²+y²=1交于A，B两点，若直线l经过点（-2，0）和线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

分析 直线与双曲线方程联立消去y，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b关于k的表达式，根据k的范围求得b的范围．

解答 解：由直线y=kx+1与圆x²+y²=1得（1+k²）x²+2kx=0，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，
∴AB中点为（-$\frac{k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{1}{1+{k}^{2}}$），
∴l方程为y=$\frac{x+2}{2{k}^{2}-k+2}$，令x=0，直线l在y轴上的截距b=$\frac{2}{2{k}^{2}-k+2}$=$\frac{2}{2（k-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}}$
∴0＜b≤$\frac{16}{15}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系．用k表示b的过程即是建立目标函数的过程，属于中档题．