Question

14．已知数列{a_n}，其中a_n=2ⁿ+3ⁿ，且数列{a_n+1+λa_n）（λ为常数）为等比数列，求常数λ．

Answer 1

分析 利用等比中项的性质可推断出（a_n+1+λa_n）²=（a_n+2+λa_n+1）（a_n+λa_n-1），整理后求得λ的值．

解答 解：∵{a_n+1+λa_n}是等比数列，
∴（a_n+1+λa_n）²=（a_n+2+λa_n+1）（a_n+λa_n-1），
将a_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，可得
[2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹+λ（2ⁿ+3ⁿ）]²
=[2ⁿ⁺²+3ⁿ⁺²+λ（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3ⁿ+λ（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2+λ）2ⁿ+（3+λ）3ⁿ]²
=[（2+λ）2ⁿ⁺¹+（3+λ）3ⁿ⁺¹][（2+λ）2^n-1+（3+λ）3^n-1]，
整理得$\frac{1}{6}$（2+λ）（3+λ）•2ⁿ•3ⁿ=0，
解得λ=-2或λ=-3．

点评 本题考查等比数列的性质，涉及等比中项的应用，属中档题．