Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若a₁=1，S₁₀=1OO，求{a_n}的通项公式；
（2）若S_n=n²-6n，求S_n-a_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意和求和公式可得公差d，可得通项公式；
（2）由a_n和S_n的关系可得a_n=2n-7，代入S_n-a_n由二次函数可得．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁=1，S₁₀=1OO，
∴S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=10+45d=1OO，
解得d=2，
∴{a_n}的通项公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵S_n=n²-6n，∴a₁=S₁=-5，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-7，
经验证当n=1时，上式也适合，
∴a_n=2n-7，
∴S_n-a_n=n²-6n-（2n-7）=n²-8n+7，
由二次函数可知当n=4时，上式取最小值-9

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及通项和前n项和的关系以及二次函数的性质，属中档题．