题目内容
【题目】如图,四棱锥,侧面
是边长为2的正三角形,且平面
平面
,底面
是
的菱形,
为棱
上的动点,且
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)试确定的值,使得二面角
的平面角余弦值为
.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ) 取的中点
,连结
,可得
,
,从而
平面
,所以
,又
,所以
. (Ⅱ)根据题意可得
两两垂直,建立空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量,根据法向量的余弦值的绝对值为
可求得
,从而可得结论.
试题解析:
(Ⅰ)取的中点
,连结
,由题意可得
,
均为正三角形,
所以,
,
又,
所以平面
,
又平面
,
所以.
因为,
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
.
故可得两两垂直,以
为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,
则,
,
,
,
所以 ,
由,可得点
的坐标为
,
所以,
,
设平面的一个法向量为
,
由,可得
,
令,则
,
又平面的一个法向量为
,
由题意得,
解得或
(舍去),
所以当时,二面角
的余弦值为
.

【题目】炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料溶化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料溶化完毕到出钢的时间)的一组数据,如表所示:
x(0.01%) | 104 | 180 | 190 | 177 | 147 | 134 | 150 | 191 | 204 | 121 |
y/min | 100 | 200 | 210 | 185 | 155 | 135 | 170 | 205 | 235 | 125 |
(1)y与x是否具有线性相关关系?
(2)如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程.
(3)预报当钢水含碳量为160个0.01%时,应冶炼多少分钟?
参考公式:r=
,
线性回归方程
【题目】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.