题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）若 $数学公式$ ，求函数f（x）的最值；
（2）记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=0，b+c=4，求△ABC面积的最大值．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ =sinxcosx+ $\text{[math]}$ cos²x- $\text{[math]}$ sin²x+sinxcosx
=sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，
故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得 sin（2A+ $\text{[math]}$ ）=0，∴A= $\text{[math]}$ ．
∵b+c=4≥2 $\text{[math]}$ ，当且仅当b=c时取等号，故 bc≤4，即 bc的最大值为 4．
故△ABC面积S= $\text{[math]}$ bc•sinA= $\text{[math]}$ bc≤ $\text{[math]}$ ，故△ABC面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由 $\text{[math]}$ ，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得A= $\text{[math]}$ ．利用基本不等式求得 bc≤4，即 bc的最大值为4，由此求得△ABC的面积S= $\text{[math]}$ bc•sinA 的最大值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，以及基本不等式的应用，属于中档题．