Question

有以下四个命题：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题P：?x∈R，sinx≤1，则?P：?x∈R，sinx＜1，
③不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立；
④设有四个函数y=x-1，y=x

1

2

，y=x2，y=x3其中在（0，+∝）上是增函数的函数有3个．
其中真命题的序号

①③④

．

Answer 1

分析：①△ABC中，“A＞B”等价于“a＞b“，等价于“sinA＞sinB”；
②根据命题的否定的定义，可知②为假命题；
③构建函数f（x）=10^x-x²，在（0，+∞）上为增函数，故③为真命题；
④在（0，+∞）上是增函数的函数为y=x

1

2

，y=x2，y=x3，故可得结论．

解答：解：①△ABC中，“A＞B”等价于“a＞b“，等价于“sinA＞sinB”，故①为真命题；
②根据命题的否定的定义，可知：若命题P：?x∈R，sinx≤1，则￢P：?x∈R，sinx＞1，故②为假命题；
③构建函数f（x）=10^x-x²，设g（x）=f′（x）=10^xln10-2x，h（x）=g′（x）=10^xln²10-2，h′（x）=10^xln³10＞0
∴h（x）是增函数，h（x）≥h（0）＞0，由此知g（x）=f′（x）是增函数，可得g（x）=f′（x）＞f′（0）＞0
∴f（x）=10^x-x²在（0，+∞）上为增函数，所以不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立，故③为真命题；
④设有四个函数y=x-1，y=x

1

2

，y=x2，y=x3，其中在（0，+∞）上是增函数的函数为y=x

1

2

，y=x2，y=x3，所以有3个，故④为真命题．
故正确命题为：①③④
故答案为：①③④

点评：本题以命题为载体，考查命题真假的判断，考查函数的性质，解题时需要一一判断，综合性强．