Question

有以下四个命题：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若数列{a_n}为等比数列，且a₄=4，a₈=9，则a₆=±6；
③不等式

|x-1|

x+5

≤0的解集为{x|x＜-5}；
④若P是双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上一点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=7，则|PF₂|=13．
其中真命题的序号为

 

．（把正确的序号都填上）

Answer 1

分析：对四个命题的真假性逐一判断
①可通过三角形中正弦函数的单调性进行判断；
②可通过等比数列的性质进行判断；
③解出不等式的解集即可；
④通过双曲线的定义进行判断；

解答：解：①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件是正确的，则一定有B＜A＜π-B，故可得反之也成立；
②若数列{a_n}为等比数列，且a₄=4，a₈=9，则a₆=±6，是正确命题，由等比数列的性质得a₄=4，a₈=9的等比中项为6或-6；
③不等式

|x-1|

x+5

≤0的解集为{x|x＜-5}错误命题，因为x=1时也成立；
④若P是双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上一点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|PF₁|=7，则|PF₂|=13．是真命题，因为|PF₂|-|PF₁|=6即等于长轴的一半．这样的点P存在．
故答案为①②④

点评：本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是熟练掌握了与判断命题有关的相关的定义定理或者条件．本题③容易判断错误，由于求解不等式时转化不等价造成忘记x=1也能使不等式成立，导致错误．