Question

16、如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是棱AB、CC₁的中点，△MB₁P的顶点P在棱CC₁与棱C₁D₁上运动，有以下四个命题：
①平面MB₁P⊥ND₁；②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；③△MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是三角形．
其中正确命题的序号是

②③

．

Answer 1

分析：由正方体的几何性质对四个命题时行判断，戡别正误，
①平面MB₁P⊥ND₁；可用极限位置判断，
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以证明MB₁⊥平面ND₁A₁
③△MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影到MB的距离不变即可证得
④△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是三角形，由图形判断即可．

解答：解：①平面MB₁P⊥ND₁；可用极限位置判断，当P与N重合时，MB₁P⊥ND₁垂直不成立，故线面不可能垂直，此命题是错误命题；
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁；可以证明MB₁⊥平面ND₁A₁，由图形知MB₁与ND₁和D₁A₁都垂直，故可证得MB₁⊥平面ND₁A₁，进而可得平面MB₁P⊥平面ND₁A₁，故是正确命题；
③△MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值，可以看到其投影三角形底边是MB，再由点P在底面上的投影在DC上，故其到MB的距离不变即可证得；
④△MB₁P在侧面D₁C₁CD上的射影图形是三角形，由于P与C₁重合时，P、B₁两点的投影重合，不能构成三角形，故命题错误．
综上②③正确
故答案为：②③．

点评：本题考查面面之间的位置关系以及投影的概念，求解本题的关键是对正方体中的点线面关系有比较透彻的了解．对其中的空间位置比较熟悉，则判断较易．