题目内容
设,函数,.
(I)试讨论函数的单调性
(II)设,求证:有三个不同的实根.
(I)试讨论函数的单调性
(II)设,求证:有三个不同的实根.
当时,函数在上递减,在上递增,在上递减;
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增.
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增.
解:(Ⅰ)∵. ……………2分
∴当时,方程的解为:或时无解,时为,
当时,方程的解为:时无解,时为.
∴当时,函数在上递减,在上递增,在上递减;
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增. ……………7分
(Ⅱ)∵,由(Ⅰ)可知,的取值随着x的变化如下:
∴当时,极小值为,
当,极大值为. ……………10分
∵,∴,
∴极小,极大值为,
因此,时,方程一定有三个不同的实根.…………12分
∴当时,方程的解为:或时无解,时为,
当时,方程的解为:时无解,时为.
∴当时,函数在上递减,在上递增,在上递减;
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上递增,在上递减,在上递增. ……………7分
(Ⅱ)∵,由(Ⅰ)可知,的取值随着x的变化如下:
∴当时,极小值为,
当,极大值为. ……………10分
∵,∴,
∴极小,极大值为,
因此,时,方程一定有三个不同的实根.…………12分
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