Question

【题目】如图，在中， 为直角， ．沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）是棱的中点，过做平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为，试求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，借助线面垂直的判定定理分析推证；（2）先确定三棱锥的高，再运用三棱锥的体积公式求解；（3）先确定截面的位置，再分析探求截面的面积：

（Ⅰ）证明：因为，且，

所以，同时，

又，所以面．

又因为，所以平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： 平面，又平面，

所以，

又因为，所以．

又因为，所以平面．

所以， ．

依题意， ．

所以， ．

（Ⅲ）分别取的中点，并连接，

因为平面平面，所以平面与平面的交线平行于，因为是中点，所以平面与平面的交线是的中位线．同理可证，四边形是平面截四棱锥的截面．

即： ．

由（Ⅰ）可知： 平面，所以，

又∵， ∴．

∴四边形是直角梯形．

在中， ∴．

， ， ．

∴．