题目内容
【题目】已知函数为常数).
(1)讨论的单调性;
(2)是的导函数,若存在两个极值点,求证:
【答案】(1)当时,函数在实数集上的减函数;
当时,当时,函数单调递减;
当时,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;(2)证明见解析过程.
【解析】
(1)对函数进行求导,结合基本不等式进行分类讨论即可;
(2)计算出的值,根据已知和所要证明的不等式,构造新函数,再对新函数进行求导,结合基本不等式可以判断出新函数的单调性,利用新函数的单调性证明即可.
(1).
因为(当且仅当时取等号),所以,
当时,,函数在实数集上的减函数;
当时,或,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
(2),函数存在两个极值点,由(1)可知:,此时构造新函数为,
所以,所以函数是减函数,
当时,,
所以有,因为,所以有
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