题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在正数a,使得时,
,求实数k的取值范围.
【答案】(1)时,
在
上递增;
时,
在
上递减,在
上递增.(2)
或
.
【解析】
(1)求得的导函数
,将
分成
和
两种情况,讨论
的单调性.
(2)将分成
、
和
三种情况,结合(1)中的结论,化简
,然后利用构造函数法,结合导数,求得实数
的取值范围.
(1).当
时,
,
在
上递增.当
时,令
解得
,当
时,
,当
时,
,所以
在
上递减,在
上递增.
(2),
①当时,
在
上单调递增,且
,所以
,所以
,即
,也即
,令
,则
.因为
,
,所以
,所以
,所以
在
上递增,
,所以存在
,在
上
成立.
②当时,
,由(1)知
在
上递减,在
上递增,所以
在
上递增,
,所以
,所以
,即
,也即
.令
,则
.令
,解得
,因为
,所以
,所以
在
上递减,
,不符合.
③当时,
.因为
在
上递减,在
上递增,存在
,
时,
,所以
,要使
,只需
,即
.令
,则
,令
,得
.当
时,
,
在
上递增,
,不成立.当
时,
,存在
,使得
在
上递减,
,成立.
综上所述,或
.
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