Question

6．记函数f（x）=-x+$\sqrt{2x+1}$的定义域和值域分别为A，B．
（1）求A，并用描述法表示；
（2）求B，并用区间表示；
（3）求函数y=x²（x∈A∩B）的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域即可求A；
（2）利用换元法，结合一元二次函数的性质即可求B；
（3）先求出A∩B，然后利用一元二次函数的性质即可求函数y=x²（x∈A∩B）的值域．

解答 解：（1）由2x+1≥0得x≥-$\frac{1}{2}$，即函数的定义域为A={x|x≥$-\frac{1}{2}$}；
（2）设t=$\sqrt{2x+1}$，则x=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，t≥0，
则函数等价为y=g（t）=-$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+1，t≥0，
∵t≥0，
∴y≤1，即函数的值域B=（-∞，1]；
（3）∵A={x|x≥$-\frac{1}{2}$}；B=（-∞，1]；
∴A∩B=[$-\frac{1}{2}$，1]；
则函数y=x²，x∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
则当x=0时，函数取得最大值为y=0，
当x=1时，函数取得最大值y=1，
即函数的值域为[0，1]．

点评 本题主要考查函数定义域，值域以及集合的基本运算，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．