题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,
底面
,
,
,
,
分别是
,
的中点,
在
上,且
.
(1)求证: 平面
;
(2)在线段上上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析; (2)见解析.
【解析】试题分析:第(1)问证明平面
,基本思路是证明
平面
内的两条相交直线垂直,注意合理利用题设条件给出的数量关系和图形关系;第(2)问应抓住两点找到问题的求解方向:一是点
的预设位置,二是二面角
的位置.涉及空间二面角的问题,可以从两个不同的方法上得到求解,即常规法和向量法
试题解析:
(1)由,
,
是
的中点,得
.
因为底面
,所以
.
在
中,
,所以
.
因此,又因为
,
所以,
则,即
. 因为
底面
,所以
,又
,
所以底面
,则
.
又,所以
平面
.
(2)方法一:假设满足条件的点存在,并设
.
过点作
交
于点
,
又由,
,得
平
面.
作交
于点
,连结
,则
.
于是为二面角
的平面角,
即,由此可得
.
由,得
,于是有
,
.
在中,
,即
,解得
.
于是满足条件的点存在,且
.
(2)方法二:假设满足条件的点存在,并设
.以
为坐标原点,分别以
,
,
为
,
,
轴建立空间直线坐标系
,则
,
,
,
.由
得
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,则
,即
,取
,得
,
,即
.设平面
的法向量为
,则
,即
,取
,得
,
,即
.由二面角
的大小为
,得
,化简得
,又
,求得
. 于是满足条件的点
存在,且
.
点晴:本题考查的是线面垂直的明和二面角的求解.第(1)问证明平面
,基本思路是证明
平面
内的两条相交直线垂直,注意合理利用题设条件给出的数量关系和图形关系;第(2)问应抓住两点找到问题的求解方向:一是点
的预设位置,二是二面角
的位置.涉及空间二面角的问题,可以从两个不同的方法上得到求解,即常规法和向量法
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