Question

12．已知函数f（x）=x²-2kx+2，当x≥-1时，恒有f（x）≥k，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 由题意可得（2x+1）k≤x²+2，对x讨论，当2x+1=0即x=-$\frac{1}{2}$，当2x+1＞0，即x＞-$\frac{1}{2}$时，当-1≤2x+1＜0，即-1≤x＜-$\frac{1}{2}$时，分离参数，运用换元法和基本不等式及函数的单调性，即可得到k的范围．

解答 解：当x≥-1时，恒有f（x）≥k，即有
x²-2kx+2≥k，即有（2x+1）k≤x²+2，
当2x+1=0即x=-$\frac{1}{2}$，不等式显然成立；
当2x+1＞0，即x＞-$\frac{1}{2}$时，即有k≤$\frac{{x}^{2}+2}{2x+1}$，
令y=$\frac{{x}^{2}+2}{2x+1}$，设t=2x+1，（t＞0），则有
y=$\frac{1}{4}$（t+$\frac{9}{t}$）-$\frac{1}{2}$，
由t+$\frac{9}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{9}{t}}$=6，当且仅当t=3即x=1时，y取得最小值1．
则有k≤1；
当-1≤2x+1＜0，即-1≤x＜-$\frac{1}{2}$时，即有k≥$\frac{{x}^{2}+2}{2x+1}$，
令y=$\frac{{x}^{2}+2}{2x+1}$，设t=2x+1，（-1≤t＜0），则有
y=$\frac{1}{4}$（t+$\frac{9}{t}$）-$\frac{1}{2}$，
由t+$\frac{9}{t}$在[-1，0）递减，当t=-1即x=-1时，y取得最大值-3．
则有k≥-3．
综上可得-3≤k≤1．
则实数k的取值范围是[-3，1]．

点评 本题考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，考查函数的单调性和基本不等式的运用，属于中档题．