Question

2．在极坐标系中，△ABC的3个顶点的极坐标为A（ρ₁，θ₁），B=（ρ₂，θ₂），C（ρ₃，θ₃），求证：△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$|ρ₁ρ₂sin（θ₂-θ₁）+ρ₂ρ₃sin（θ₃-θ₂）+ρ₃ρ1sin（θ₁-θ₃）|

Answer 1

分析 化极坐标为直角坐标，求出AB的距离，写出AB所在直线方程，由点到直线距离公式求出C到直线AB的距离，代入三角形面积公式整理得答案．

解答 证明：由A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），C（ρ₃，θ₃），得
A（ρ₁cosθ₁，ρ₁sinθ₁），B（ρ₂cosθ₂，ρ₂sinθ₂），C（ρ₃cosθ₃，ρ₃sinθ₃），
|AB|=$\sqrt{（{ρ}_{1}cos{θ}_{1}-{ρ}_{2}cos{θ}_{2}）^{2}+（{ρ}_{1}sin{θ}_{1}-{ρ}_{2}sin{θ}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{{ρ}_{1}}^{2}+{{ρ}_{2}}^{2}-2{ρ}_{1}{ρ}_{2}cos（{θ}_{1}-{θ}_{2}）}$．
AB所在直线方程为$\frac{y-{ρ}_{1}sin{θ}_{1}}{{ρ}_{2}sin{θ}_{2}-{ρ}_{1}sin{θ}_{1}}=\frac{x-{ρ}_{1}cos{θ}_{1}}{{ρ}_{2}cos{θ}_{2}-{ρ}_{1}cos{θ}_{1}}$，
整理得：（ρ₂sinθ₂-ρ₁sinθ₁）x-（ρ₂cosθ₂-ρ₁cosθ₁）y+ρ₁ρ₂sin（θ₁-θ₂）=0．
则C到AB的距离d=$\frac{|{ρ}_{3}cos{θ}_{3}（{ρ}_{2}sin{θ}_{2}-{ρ}_{1}sin{θ}_{1}）-{ρ}_{3}sin{θ}_{3}（{ρ}_{2}cos{θ}_{2}-{ρ}_{1}cos{θ}_{1}）+{ρ}_{1}{ρ}_{2}sin（{θ}_{1}-{θ}_{2}）|}{\sqrt{（{ρ}_{2}sin{θ}_{2}-{ρ}_{1}sin{θ}_{1}）^{2}+（{ρ}_{2}cos{θ}_{2}-{ρ}_{1}cos{θ}_{1}）^{2}}}$．
则：△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|d=|ρ₁ρ₂sin（θ₂-θ₁）+ρ₂ρ₃sin（θ₃-θ₂）+ρ₃ρ₁sin（θ₁-θ₃）|．

点评 本题考查点的极坐标与直角坐标的互化，考查了点到直线距离公式的应用，训练了三角形面积的求法，考查计算能力，是中档题．