题目内容
已知函数f(x)=sin
cos
+
(1-sin2
)．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其图象对称轴的方程；
（2）如果△ABC的三边a、b、c的长成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其图象对称轴的方程；
（2）如果△ABC的三边a、b、c的长成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域．
分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的对称中心、对称轴方程求解即可；
（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，求出
+
的范围，利用正弦函数的值域即可求出f（x）的值域．
（2）通过b2=ac，利用余弦定理求出cosx的范围，然后求出x的范围，求出
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵函数f(x)=sin
cos
+
(1-sin2
)
=
sin
+
(1+cos
)=
sin
+
cos
+
=sin(
+
)+
．
由
+
=kπ+
（k∈Z）得x=
π+
（k∈Z），
即其图象对称轴的方程x=
π+
（k∈Z）．
（2）由已知b2=ac，cosx=
=
≥
=
，
∴
≤cosx＜1，0＜x≤
则
＜
+
≤
，
∴sin
＜sin（
+
）≤1，
∴
＜sin(
+
)+
≤1+
，
则f（x）的值域为(
，1+
]．
| x |
| 3 |
| x |
| 3 |
| 3 |
| x |
| 3 |
=
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 2x |
| 3 |
| ||
| 2 |
=sin(
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
由
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 3k |
| 2 |
| π |
| 4 |
即其图象对称轴的方程x=
| 3k |
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）由已知b2=ac，cosx=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
则
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 9 |
∴sin
| π |
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴
| 3 |
| 2x |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
则f（x）的值域为(
| 3 |
| ||
| 2 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，余弦定理的应用，正弦函数的值域的求法，考查计算能力．
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