Question

若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则

1

a

+

1

b

的最小值为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  2

• C、

  3

  2

  +

  2

• D、

  3

  2

  +2

  2

Answer 1

分析：圆即 （x+1）²+（y-2）²=4，表示以M（-1，2）为圆心，以2为半径的圆，由题意可得 圆心在直线ax-by+2=0上，得到a+2b=2，故

1

a

+

1

b

=

1

2

+

b

a

+

a

2b

+1，利用基本不等式求得式子的最小值．

解答：解：圆x²+y²+2x-4y+1=0 即  （x+1）²+（y-2）²=4，表示以M（-1，2）为圆心，以2为半径的圆，
由题意可得 圆心在直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，故-1a-2b+2=0，
即 a+2b=2，∴

1

a

+

1

b

=

a+2b 2

a

+

a+2b 2

b

=

1

2

+

b

a

+

a

2b

+1≥

3

2

+2

1 2

=

3

2

+

2

，
当且仅当 

b

a

=

a

2b

 时，等号成立，
故选 C．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，以及基本不等式的应用，得到a+2b=2，
是解题的关键．