Question

若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当

1

a

+

1

b

取最小值时，函数f（x）的解析式是

 

．

Answer 1

分析：解决问题的关键是求出参数a的值，由直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，得该定点的坐标是（-1，2），从而知a+2b=2，变形得

1

2

a+b=1，再用1的变换将

1

a

+

1

b

构造成可用基本不等式求最值的形式，利用等号相等的条件得到参数a，b的另一个方程，与a+2b=2联立求得a值，即可求得函数解析式．

解答：解：函数f（x）=a^x+1+1的图象恒过（-1，2），故

1

2

a+b=1，
∴

1

a

+

1

b

=（

1

2

a+b）（

1

a

+

1

b

）=

3

2

+

b

a

+

a

2b

≥

3

2

+

2

．
当且仅当b=

2

2

a时取等号，将b=

2

2

a代入

1

2

a+b=1得a=2

2

-2，
故f（x）=（2

2

-2）^x+1+1．
故答案应为：f（x）=（2

2

-2）^x+1+1

点评：本题考点是选定系数法求函数的解析式，本题综合性较强涉及到了指数函数的性质，基本不等式求最小值，知识覆盖广，技巧性强，应仔细体会各个知识之间的转化连接点．