Question

已知函数f（x）=3^x+k （k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数f^-1（x）的解析式；
（2）将y=f^-1（x）的图象按向量

a

=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立，求正实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）=3^x+k （k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点，可求得k，进而可求f^-1（x）的解析式；
（2）y=g（x）=f^-1（x-3）=log₃x（x＞0），2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立等价于2log₃（x+m）-log₃x≥1恒成立，进而可得

x＞0 m＞0 x+m≥ 3x

，由此可求正实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=3^x+k （k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点
∴-2k=3²+k，∴k=-3
∴y=f（x）=3^x-3，∴x=log₃（y+3）
∴f^-1（x）=log₃（x+3）（x＞-3）
（2）y=g（x）=f^-1（x-3）=log₃x（x＞0）
2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立等价于2log₃（x+m）-log₃x≥1恒成立
∴

x+m＞0 x＞0 (x+m)2 x ≥3

，∴

x＞0 m＞0 x+m≥ 3x

∵x＞0，∴m≥-x+

3x

=-(

x

-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

∴m≥

3

4

．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的解析式，属于中档题．