Question

15．已知在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，AD是BC边上的中线，G是AD上的点，且$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GD}$．
（1）若（sinA-$\sqrt{3}$sinB）$\overrightarrow{AB}$+（sinC-2sinB）$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，判断△ABC的形状；
（2）若sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A，S_△ABC=3，求AG²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，sinA-$\sqrt{3}$sinB=0，且sinC-2sinB=0，由正弦定理可得，a=$\sqrt{3}$b，c=2b，结合勾股定理，即可判断△ABC的形状；
（2）先确定A，bc=4$\sqrt{3}$，再利用（2AD）²+a²=2（b²+c²），结合基本不等式确定AD²的最小值是$\sqrt{3}$，利用$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GD}$．即可求出AG²的最小值．

解答 解：（1）由题意，sinA-$\sqrt{3}$sinB=0，且sinC-2sinB=0，
∴由正弦定理可得，a=$\sqrt{3}$b，c=2b，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵sin²B+sin²C+sinBsinC=sin²A，
由正弦定理可得，a²=b²+c²+bc，
由余弦定理可得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴A=120°
∵S_△ABC=3，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=3，
∴bc=4$\sqrt{3}$，
∴（2AD）²+a²=2（b²+c²），
∴4AD²=b²+c²-bc≥bc=4$\sqrt{3}$，
∴AD²的最小值是$\sqrt{3}$，
∵$\overrightarrow{AG}$=2$\overrightarrow{GD}$．
∴AG²的最小值为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键．