题目内容

（2008•扬州二模）如图，平面内有三个向量
OA
、
OB
、
OC
，其中与
OA
与
OB
的夹角为120°，
OA
与
OC
的夹角为30°，且|
OA
|=2，|
OB
|=1，|
OC
|=2
3
，若
OC
=λ
OA
+μ
OB
（λ，μ∈R），则λ+μ的值为
4
4
．
分析：如图所示，过点C作CD∥OB交直线OA与点D．利用
OA
与
OB
的夹角为120°，
OA
与
OC
的夹角为30°，可得∠OCD=90°．
在Rt△OCD中，利用边角关系可得|
OD
|，|
DC
|．又
OC
=λ
OA
+μ
OB
=
OD
+
DC
，∴
OD
=λ
OA
，
DC
=μ
OB
．求出即可．
解答：解：如图所示，过点C作CD∥OB交直线OA与点D．
∵
OA
与
OB
的夹角为120°，
OA
与
OC
的夹角为30°，∴∠OCD=90°．
在Rt△OCD中，∴|
CD
|=|
OC
|tan30°=2
3
×
3
3
=2，|
OD
|=2|
CD
|=4．
又
OC
=λ
OA
+μ
OB
=
OD
+
DC
，∴
OD
=λ
OA
，
DC
=μ
OB
．
∴|
OD
|=λ|
OA
|，|
DC
|=μ|
OB
|．
∴4=λ×2，2=μ×1，
解得λ=2=μ．
∴λ+μ=4．
故答案为4．
点评：熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键．
练习册系列答案
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（n-1）2
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．
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1
2
+
3
2
i)10-(
1-i
2
)6=
-
1
2
+
3
-2
2
i
-
1
2
+
3
-2
2
i
．
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1
2
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π
4
，
3π
4
）
（
π
4
，
3π
4
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．
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3-x≥0
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[0，
4
3
]
[0，
4
3
]
．

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