题目内容
设定义域为R+的函数f(x),对任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时有f(x)>0.
①求f(1)的值;
②判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明.
③若f(
)=-1,求满足不等式f(1-x-2x2)≤1的x的取值范围.
①求f(1)的值;
②判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明.
③若f(
1 |
a |
①令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
②f(x)在(0,+∞)上的是增函数,
设x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则
>1,
∴f(
)>0,
∴f(x1)-f(x2)=f(x2?
)-f(x2)=f(x2)+f(
)-f(x2)=f(
)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上的是增函数.
③∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴令y=
,则f(1)=f(x)+f(
)=0,
又f(
)=-1,
∴f(a)=1,
由②知,f(x)在(0,+∞)上的是增函数.
∴不等式f(1-x-2x2)≤1等价为f(1-x-2x2)≤f(a),
则
由不等式(1)得-1<x<
,
∵不等式(2)可化为:2x2+x+a-1≥0,
10当△=9-8a≤0,即a≥
时,不等式(2)恒成立,此时,所求解集为x∈(-1,
).
20当△=9-8a>0时,又∵a>0,∴0<a<
.
此时,不等式(2)的解为x≤
或x≥
.
又∵0<a<
,
∴0<9-8a<9,
∴-1<
<
<
.
∴此时所求解集为:x∈(-1,
]∪[
,
).
综上,当a≥
时,所求解集为x∈(-1,
)
当0<a<
时,所求解集为:x∈(-1,
]∪[
,
).
②f(x)在(0,+∞)上的是增函数,
设x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则
x1 |
x2 |
∴f(
x1 |
x2 |
∴f(x1)-f(x2)=f(x2?
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
x1 |
x2 |
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上的是增函数.
③∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴令y=
1 |
x |
1 |
x |
又f(
1 |
a |
∴f(a)=1,
由②知,f(x)在(0,+∞)上的是增函数.
∴不等式f(1-x-2x2)≤1等价为f(1-x-2x2)≤f(a),
则
|
由不等式(1)得-1<x<
1 |
2 |
∵不等式(2)可化为:2x2+x+a-1≥0,
10当△=9-8a≤0,即a≥
9 |
8 |
1 |
2 |
20当△=9-8a>0时,又∵a>0,∴0<a<
9 |
8 |
此时,不等式(2)的解为x≤
-1-
| ||
4 |
-1+
| ||
4 |
又∵0<a<
9 |
8 |
∴0<9-8a<9,
∴-1<
-1-
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4 |
-1+
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4 |
1 |
2 |
∴此时所求解集为:x∈(-1,
-1-
| ||
4 |
-1+
| ||
4 |
1 |
2 |
综上,当a≥
9 |
8 |
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2 |
当0<a<
9 |
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4 |
-1+
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4 |
1 |
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