题目内容

设定义域为R+的函数f(x),对任意的正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时有f(x)>0.
①求f(1)的值;
②判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明.
③若f(
1
a
)=-1,求满足不等式f(1-x-2x2)≤1的x的取值范围.
①令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.
②f(x)在(0,+∞)上的是增函数,
设x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则
x1
x2
>1

∴f(
x1
x2
)>0,
f(x1)-f(x2)=f(x2?
x1
x2
)-f(x2)
=f(x2)+f(
x1
x2
)-f(x2)=f(
x1
x2
)>0

即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上的是增函数.
③∵f(xy)=f(x)+f(y),
∴令y=
1
x
,则f(1)=f(x)+f(
1
x
)=0,
又f(
1
a
)=-1,
∴f(a)=1,
由②知,f(x)在(0,+∞)上的是增函数.
∴不等式f(1-x-2x2)≤1等价为f(1-x-2x2)≤f(a),
1-x-2x2>0,(1)
1-x-2x2≤a,(2)

由不等式(1)得-1<x<
1
2

∵不等式(2)可化为:2x2+x+a-1≥0,
10当△=9-8a≤0,即a≥
9
8
时,不等式(2)恒成立,此时,所求解集为x∈(-1,
1
2
)

20当△=9-8a>0时,又∵a>0,∴0<a<
9
8

此时,不等式(2)的解为x≤
-1-
9-8a
4
或x≥
-1+
9-8a
4

又∵0<a<
9
8

∴0<9-8a<9,
-1<
-1-
9-8a
4
-1+
9-8a
4
1
2

∴此时所求解集为:x∈(-1,
-1-
9-8a
4
]∪[
-1+
9-8a
4
1
2
)

综上,当a≥
9
8
时,所求解集为x∈(-1,
1
2
)

0<a<
9
8
时,所求解集为:x∈(-1,
-1-
9-8a
4
]∪[
-1+
9-8a
4
1
2
)
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