题目内容
【题目】设点P是直线上一点,过点P分别作抛物线
的两条切线
,其中A、B为切点.
(1)若点A的坐标为,求点P的横坐标;
(2)当的面积为
时,求
.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由导数的几何意义,可先求直线切线的斜率
,由点斜式写出直线
方程,再由点
纵坐标为-2代入直线方程即可求解;
(2)设,分别表示出直线
的方程为
,同理得
,由两直线均过
得
,可推出直线方程为
,联立抛物线方程
解出关于
的一元二次方程,结合弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积公式为
,即可求解
,进而求解弦长
;还可设
,将
两点纵坐标结合抛物线代换,表示出直线
的方程为
,同理直线
的方程为
,联立解得
,故
,设直线
的方程为
,联立
,推出参数
,后续求解步骤同前一种解法
(1)由,所以
,
因为,
由导数的几何意义知,切线的斜率
,
所以切线的方程为
,即
,
又因为点P为直线与直线
的公共点,
联立与
,可得P点横坐标为
.
(2)法一:不妨设,
由(1)可知,即直线
的方程为
,
即,同理可得
因为切线均过点
,所以
,
所以为方程
的两组解,
所以直线的方程为
,即
联立,可得
,显然
,
由韦达定理得,,
所以,
又因为点P到直线的距离
,
所以,
解得,所以
.
法二:不妨设,由(1)可知直线
的方程为
,
同理,直线的方程为
,
联立解得,
又点P在直线,所以
,
设直线的方程为
,联立
,可得
,
由韦达定理得,
可得,
所以,
又因为点P到直线的距离为
,
所以,
解得,所以
.
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