题目内容
如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0),点M(x,y)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x=1-时,切线MA的斜率为-.(I)求P的值;
(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
【答案】分析:(I)利用导数的几何意义,先表示出切线方程,再由M在抛物线上及在直线上两个前提下,得到相应的方程,解出p值.
(II)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程
解答:解:(I)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点的坐标为(-1,),故切线MA的方程为y=-(x+1)+
因为点M(1-,y)在切线MA及抛物线C2上,于是
y=-(2-)+=- ①
y=-=- ②
由①②解得p=2
(II)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2,由N为线段AB中点知x= ③,y== ④
切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+,⑤;y=(x-x2)+⑥,
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x,y)的坐标满足x=,y=
因为点M(x,y)在C2上,即x2=-4y,所以x1x2=-⑦
由③④⑦得x2=y,x≠0
当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y
点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系,此类题运算较繁,解答的关键是合理引入变量,建立起相应的方程,本题探索性强,属于能力型题
(II)由题意,可先设出A,B两个端点的坐标及中点的坐标,再由中点坐标公式建立方程,直接求解出中点N的轨迹方程
解答:解:(I)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点的坐标为(-1,),故切线MA的方程为y=-(x+1)+
因为点M(1-,y)在切线MA及抛物线C2上,于是
y=-(2-)+=- ①
y=-=- ②
由①②解得p=2
(II)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2,由N为线段AB中点知x= ③,y== ④
切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+,⑤;y=(x-x2)+⑥,
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x,y)的坐标满足x=,y=
因为点M(x,y)在C2上,即x2=-4y,所以x1x2=-⑦
由③④⑦得x2=y,x≠0
当x1=x2时,A,B丙点重合于原点O,A,B中点N为O,坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y
点评:本题考查直线与圆锥曲线的关系,此类题运算较繁,解答的关键是合理引入变量,建立起相应的方程,本题探索性强,属于能力型题
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