题目内容
（2012•安徽模拟）2011年3月20日，第19个世界水日，主题是：“城市水资源管理”；2011年“六•五”世界环境日中国主题：“共建生态文明，共享绿色未来”．活动组织者为调查市民对活动主题的了解情况，随机对10～60岁的人群抽查了n人，调查的每个人都同时回答了两个问题，统计结果如下：
（Ⅰ）若以表中的频率近似看作各年龄段回答活动主题正确的概率，规定回答正确世界环境日中国主题的得20元奖励，回答正确世界水日主题的得30元奖励．组织者随机请一个家庭中的两名成员（大人42岁，孩子16岁）回答这两个主题，两个主题能否回答正确均无影响，分别写出这个家庭两个成员获得奖励的分布列并求该家庭获得奖励的期望；
（Ⅱ）求该家庭获得奖励为50元的概率．
| 世界环境日中国主题 | 世界水日主题 | |||
| 回答正确人数 | 占本组人数频率 | 回答正确人数 | 占本组人数频率 | |
| [10，20） | 30 | a | 30 | 0.5 |
| [20，30） | 48 | 0.8 | 30 | 0.5 |
| [30，40） | 36 | 0.6 | 48 | 0.8 |
| [40，50） | 20 | 0.5 | 24 | b |
| [50，60] | 12 | 0.6 | 10 | 0.5 |
（Ⅱ）求该家庭获得奖励为50元的概率．
分析：（I）依题意：在[10，20）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数与“世界水日”的人数相同，故a=0.5．在[40，50）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数=
=40，“世界水日”的频率b=
．
设孩子获得奖励为ξ，大人获得奖励为η，则ξ，η为随机变量，其ξ分布列P（ξ=0）=（1-0.5）×（1-0.5）=0.25，P（ξ=20）=0.5×（1-0.5）=0.25，P（ξ=30）=（1-0.5）×0.5=0.25，P（ξ=50）=0.5×0.5=0.25．即可得出其分布列．同理得出η的分布列．再利用数学期望的计算公式即可得出．
（II）由ξ，η的分布列即可得出．
| 20 |
| 0.5 |
| 24 |
| 40 |
设孩子获得奖励为ξ，大人获得奖励为η，则ξ，η为随机变量，其ξ分布列P（ξ=0）=（1-0.5）×（1-0.5）=0.25，P（ξ=20）=0.5×（1-0.5）=0.25，P（ξ=30）=（1-0.5）×0.5=0.25，P（ξ=50）=0.5×0.5=0.25．即可得出其分布列．同理得出η的分布列．再利用数学期望的计算公式即可得出．
（II）由ξ，η的分布列即可得出．
解答：解：（1）依题意：在[10，20）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数与“世界水日”的人数相同，故a=0.5．
在[40，50）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数=
=40，“世界水日”的频率b=
=0.6．
设孩子获得奖励为ξ，大人获得奖励为η，则ξ，η为随机变量，其分布列分别为：所以其分布列为：
数学期望为：Eξ=25，Eη=28．
该家庭获得奖励的期望EX=Eξ+Eη=53．
（2）P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25
在[40，50）这一组里，抽查的回答“世界环境日中国主题”的人数=
| 20 |
| 0.5 |
| 24 |
| 40 |
设孩子获得奖励为ξ，大人获得奖励为η，则ξ，η为随机变量，其分布列分别为：所以其分布列为：
| ξ | 0 | 20 | 30 | 50 |
| P（ξ） | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |
| η | 0 | 20 | 30 | 50 |
| P（η） | 0.2 | 0.2 | 0.3 | 0.3 |
该家庭获得奖励的期望EX=Eξ+Eη=53．
（2）P=0.25×0.3+0.25×0.3+0.25×0.2+0.25×0.2=0.25
点评：本题考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算方法，属于中档题．
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