题目内容
1．若关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是（3，4]．分析 根据一元二次方程x2-4x+m=0有两个正根可得m＞0且△=16-4m≥0，再根据三角形三边关系确定m的范围．
解答 解：∵（x-2）•（x2-4x+m）=0有三个根（允许相等），
∴设这三根为：x1=2，x2，x3，不妨设x2≤x3，
即x2，x3为方程x2-4x+m=0的两正根，
所以，m＞0且△=16-4m≥0，解得0＜m≤4，
∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，
∴两边之和：x2+x3=4=2x1，则x2≤2≤x3，
两边之差：|x2-x3|＜2，
即（x2+x3）2-4x2x3＜4，
所以，16-4m＜4，解得m＞3，
因此，3＜m≤4，
故实数m的取值范围是（3，4]．
点评 本题主要考查了一元二次方程根的分布，以及三角形三边大小关系的确定，属于中档题．
练习册系列答案
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