Question

【题目】如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.

(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;

(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.

Answer 1

【答案】（1）A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为；（2）当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.

【解析】试题分析：（1）若θ=，由题意得OB=cos α,AB=sin α.求得矩形面积S=OB·AB=sin αcos α，即可得最值；

（2）当θ=时，连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H，

试题解析：

(1)连接OA,设∠AOB=α,

则OB=cos α,AB=sin α.

∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.

∴S=sin 2α.

由于0<α<,

∴当2α=,即α=时,S最大=.

∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.

(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.

在Rt△ABH中, =tan 60°=,∴BH=sin α.

∴OB=OH-BH=cos α-sin α.

设平行四边形ABOC的面积为S,

则S=OB·AH=sin α

=sin αcos α-sin2α=sin 2α- (1-cos 2α)

=sin 2α+cos 2α-

=

=sin.

由于0<α<,

∴当2α+,

即α=时,S最大=.

∴当A是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.