Question

16．已知平面内一动点P（x，y）（x≥0）到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求△OAB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；
（2）过点F的直线l的方程为x=my+1，代入y²=4x，可得y²-4my-4=0，利用韦达定理，结合△OAB面积=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|，即可求△OAB面积的最小值．

解答 解：（1）∵平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，
∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y²=4x（x≥0）；
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≥0）；
（2）设A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），
过点F的直线l的方程为x=my+1，代入y²=4x，可得y²-4my-4=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴△OAB面积=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{m}^{2}+16}$，
∴m=0时，△OAB面积的最小值为2．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，利用韦达定理解题．