Question

14．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）若BE=1，是否在折叠后的线段AL上存在一点P，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
（2）求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求此时点F到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （1）存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=$\frac{3}{2}$．当λ=$\frac{3}{2}$，此时$\frac{AP}{AD}$=$\frac{3}{5}$，过P作MP∥FD，与AF交M，则$\frac{MP}{FD}$=$\frac{3}{5}$，可证：四边形MPCE为平行四边形，得到PC∥ME，因此CP∥平面ABEF成立．
（Ⅱ）利用面面垂直的性质定理可得：AF⊥EF，因此AF⊥平面EFDC，设BE=x，则AF=x，（0＜x＜4），FD=6-x，故三棱锥A-CDF的体积V=$\frac{1}{3}$x×$\frac{1}{2}×2×（6-x）$，利于基本不等式的性质即可得出．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，点F到平面ACD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}|}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 解：（1）存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=$\frac{3}{2}$．
证明：当λ=$\frac{3}{2}$，此时$\frac{AP}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
过P作MP∥FD，与AF交M，则$\frac{MP}{FD}$=$\frac{3}{5}$，
又FD=5，故MP=3，
∵EC=3，MP∥FD∥EC，
∴MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，
∴PC∥ME，
∵CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，
∴CP∥平面ABEF成立．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，
∴AF⊥平面EFDC，
∵BE=x，∴AF=x，（0＜x＜4），FD=6-x，
故三棱锥A-CDF的体积V=$\frac{1}{3}$x×$\frac{1}{2}×2×（6-x）$=$\frac{1}{3}x（6-x）$$≤\frac{1}{3}×（\frac{x+6-x}{2}）^{2}$=3，
∴x=3时，三棱锥A-CDF的体积V有最大值，最大值为3．
建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，0，0），A（0，0，3），C（2，1，0），D（0，3，0）．
$\overrightarrow{AD}$=（0，3，-3），$\overrightarrow{CD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{FA}$=（0，0，3）．
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{3y-3z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取y=1，则x=1，z=1，∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∴点F到平面ACD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、点到平面的距离的向量表示，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．