题目内容
【题目】已知椭圆过点
,
分别为椭圆C的左、右焦点且
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点,直线
平行于OP(O为原点),且与椭圆C交于两点A、B,与直线
交于点M(M介于A、B两点之间).
(i)当面积最大时,求
的方程;
(ii)求证:,并判断
,
的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.
【答案】(1);(2)(i)
;(ii)证明见解析,不可能构成等比数列.
【解析】
(1)设,
.求出
的坐标,根据
,求出
.把点
代入椭圆方程,结合
,求出
,即得椭圆C的方程;
(2)(i)设方程为
,
.把直线
的方程代入椭圆方程,由韦达定理、弦长公式求出
.由点到直线的距离公式求出点P到
的距离
,则
,根据基本不等式求面积的最大值,即求
的方程;(ii)要证结论成立,只须证明
,即证直线
为
的平分线,转化成证明
.
又与C有一个公共点,即
为椭圆的切线,可求
,又
.由题意
,
,
,
四个数按某种顺序成等比数列,推出矛盾,故不可能构成等比数列.
(1)设,
,
则,
.
,
.
又在椭圆上,故
,
又,解得
,
,
故所求方程为.
(2)(i)由于,
设方程为
,
.
由,消y整理得
,
,
则
.
又点P到的距离
,
.
当且仅当,
,即
时,等号成立.
故直线AB的方程为:.
(ⅱ)要证结论成立,只须证明:,
由角平分线性质即证:直线为
的平分线,
转化成证明:.
因为
因此结论成立.
又与C有一个公共点,即
为椭圆的切线,
由得
令,
,
则,
所以,所以
,
故所研究的4条直线的斜率分别为,
,
,
,
若这四个数成等比数列,且其公比记为q,
则应有或
,或
.
因为不成立,所以
,
而当时,
,
,
此时直线PB与重合,不合题意,
故,
,PA,PB的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.

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