题目内容

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， $数学公式$ ，∠BAC=90°，D为棱 $数学公式$ 的中点．
（I）证明：A₁D⊥平面ADC；
（II）求异面直线A₁C与C₁D所成角的大小；
（III）求平面A₁CD与平面ABC所成二面角的大小（仅考虑锐角情况）．

解：（I）证：∵△A₁B₁D和△ABD都为等腰直角三角形
∴∠A₁DB₁=∠ADB=45°∴∠A₁DA=90°，即A₁D⊥AD（2分）
又∵ $\text{[math]}$
∴A₁D⊥平面ADC（4分）

（II）解：连AC₁交A₁C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF∥C₁D
∴∠CEF是异面直线A₁C与C₁D所成的角（或补角）（5分）
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
在△CEF中， $\text{[math]}$ （8分）
∴ $\text{[math]}$
则异面直线A₁C与C₁D所成角的大小为 $\text{[math]}$ （9分）

（III）解：延长A₁D与AB延长线交于G点，连接CG
过A作AH⊥CG于H点，连A₁H，∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁H⊥CG（三垂线定理）
则∠A₁HA是二面角A₁-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角（10分）
在直角三角形ACG中，∵AC=a，AG=2a∴ $\text{[math]}$ （11分）
在直角三角形A₁AH中， $\text{[math]}$ （13分）
∴ $\text{[math]}$ ，
即所求的二面角的大小为 $\text{[math]}$ （14分）
分析：（I）为了证明A₁D⊥平面ADC，只需证明A₁D垂直平面ADC内的两条相交直线AD和CA，即可．
（II）连AC₁交A₁C于E点，取AD中点F，连EF、CF，则EF∥C₁D，∠CEF是异面直线A₁C与C₁D所成的角，求解即可；
（III）延长A₁D与AB延长线交于G点，连接CG，过A作AH⊥CG于H点，连A₁H，则∠A₁HA是二面角A₁-CG-A的平面角，即所求二面角的平面角，求解即可．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，异面直线所成的角、二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．