题目内容
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明：必要性:∵a+b=1,即b=1-a,
∴a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
充分性:∵a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
∴(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.
又ab≠0,即a≠0且b≠0,
∴a2-ab+b2=(a-
)2+
≠0,只有a+b=1.
综上可知,当ab≠0,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
启示:证明充要条件,需要证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性分别是什么命题.
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