已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

试题答案

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思路解析:a+b=1的充分条件是a³+b³+ab-a²-b²=0,需证“a³+b³+ab-a²-b²=0a+b=1”.反之,是必要性.

证明:(必要性)∵ a+b=1,即a+b-1=0,

∴ a³+b³+ab-a²-b²=(a+b)(a²-ab+b²)-(a²+b²-ab)=(a+b-1)(a²-ab+b²)=0.

(充分性)∵ a³+b³+ab-a²-b²=0,即(a+b-1)(a²-ab+b²)=0,

而ab≠0,

∴ a≠0且b≠0.

而a²-ab+b²=(a-)²+b²＞0,∴ a+b-1=0,即a+b=1.

综上,可知当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

误区警示

这种题在进行证明时有时误将充分性当必要性,又将必要性当充分性来证,故首先要分清条件与结论是什么.

另外,该例的叙述格式是B成立的充要条件是A,因此由AB是充分性,由BA是必要性.若叙述格式是p是q的充要条件,则由pq是充分性,由qp是必要性.

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