题目内容
已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
证明:先证必要性成立.?
∵a+b=1,即b=1-a,?
∴a3+b3+ab-a2-b2?
=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2??
=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0.?
再证充分性成立.?
∵a3+b3+ab-a2-b2=0,?
即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,?
∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.?
由ab≠0,即a≠0且b≠0,?
∴a2-ab+b2=(a-
)2+
≠0.?
只有a+b=1,?
综上可知,当ab≠0,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
练习册系列答案
相关题目