Question

已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

思路分析：在证明充要条件的问题时，要从充分性和必要性两个方面进行证明，要分清必要性、充分性分别是什么命题，要注意大前提保持不变.

证明:必要性:因为a+b=1,

即b=1-a,

∴a³+b³+ab-a²-b²

=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²

=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²

=0.

充分性:∵a³+b³+ab-a²-b²=0,

即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0,

∴(a²-ab+b²)(a+b-1)=0.

由ab≠0,即a≠0且b≠0,

∴a²-ab+b²=(a-)²+≠0,

只有a+b=1.

综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是

a³+b³+ab-a²-b²=0.