题目内容
【题目】如图1,已知菱形的对角线
交于点
,点
为线段
的中点,
,
,将三角形
沿线段
折起到
的位置,
,如图2所示.
(Ⅰ)证明:平面
平面
;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)折叠前,AC⊥DE;,从而折叠后,DE⊥PF,DE⊥CF,由此能证明DE⊥平面PCF.
再由DC∥AE,DC=AE能得到DC∥EB,DC=EB.说明四边形DEBC为平行四边形.可得CB∥DE.由此能证明平面PBC⊥平面PCF.
(Ⅱ)由题意根据勾股定理运算得到,又由(Ⅰ)的结论得到
,可得
平面
,再利用等体积转化有
,计算结果.
(Ⅰ)折叠前,因为四边形为菱形,所以
;
所以折叠后,,
, 又
,
平面
,
所以平面
因为四边形为菱形,所以
.
又点为线段
的中点,所以
.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又平面
,所以
平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(Ⅱ)图1中,由已知得,
,
所以图2中,,又
所以,所以
又平面
,所以
又,
平面
,
所以平面
,
所以.
所以三棱锥的体积为
.
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