Question

1．设函数f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（x∈R，n∈N^*），且对一切正整数n都有f（1）=n²成立
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和P_n；
（3）求证：f（$\frac{1}{3}$）＜1
（4）设数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}的前n项和为R_n，求证：R_n≤$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4n-2}$．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的前n项和为S_n，由于对一切正整数n都有f（1）=n²成立，可得S_n=n²，利用递推式即可得出．
（2）利用“裂项求和”即可得出；
（3）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；
（4）当n=1时，经过验证成立；当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-4n+1}$$＜\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．利用“裂项求和”与不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：设数列{a_n}的前n项和为S_n，
∵对一切正整数n都有f（1）=n²成立，∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=n²，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时上式成立，
∴a_n=2n-1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和P_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
（3）证明：$f（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}f（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}f（\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$2×\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}-\frac{2+2n}{{3}^{n+1}}$，
∴$f（\frac{1}{3}）$=1-$\frac{1+n}{{3}^{n}}$＜1．
（4）证明：当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=1=$\frac{3}{2}-\frac{1}{4-2}$，
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{（2n-1）^{2}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-4n+1}$$＜\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴R_n＜1+$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$1+\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n}）$＜$\frac{3}{2}-\frac{1}{4n-2}$，
综上可得：R_n≤$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4n-2}$．

点评 本题考查了递推式、“裂项求和”、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．