题目内容

（2009•浦东新区一模）已知数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列{bn}满足2bn=（n+1）an．
（1）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意n∈N*都有bn≥b5成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{cn}满足 cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1(n∈N*且n≥3)，其中c1=1，c2=-
3
2
；f（n）=bn-|cn|，当-16≤a≤-14时，求f（n）的最小值（n∈N*）．
分析：（1）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，由此能求出an．
（2）由2bn=（n+1）an，bn=n2+
a
2
n+
a-2
2
=(n+
a
4
)2-(
a-4
4
)2，由题意得：
9
2
≤-
a
4
≤
11
2
，由此能求出a的范围．
（3）因为cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1(n≥3)．当n为偶数时：Cn=-2+(
1
2
)n-1(n∈N*)；Cn=2-(
1
2
)n-1(n∈N*)；由此能求出f(n)min=f(4)=16+2a+
a-2
2
+
1
8
-2=
5
2
a+
105
8
．
解答：解：（1）因为a1、a3、a4成等比数列，
所以a1•a4=a32，
即a•（a+6）=（a+4）2，a=-8，
∴an=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2bn=（n+1）an，
bn=n2+
a
2
n+
a-2
2
=(n+
a
4
)2-(
a-4
4
)2，…（6分）
由题意得：
9
2
≤-
a
4
≤
11
2
，
-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1(n≥3)
①当n为偶数时：cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1=-3•(
1
2
)n-1，
cn-2-cn-4=3•(-
1
2
)n-3=-3•(
1
2
)n-3，
C4-C2=3•(-
1
2
)3=-3•(
1
2
)3，
所以 Cn=C2+（C4-C2）+L+（Cn-2-Cn-4）+（Cn-Cn-2）
=-3•[
1
2
+(
1
2
)3+L+(
1
2
)n-3+(
1
2
)n-1]=-3•
1
2
-
1
2
(
1
4
)
n
2
1-
1
4

即Cn=-2+(
1
2
)n-1(n∈N*)；（12分）
②n为奇数时：Cn-Cn-2=3•(-
1
2
)n-1=3•(-
1
2
)n-1，Cn-2-Cn-4=3•(-
1
2
)n-3=3•(
1
2
)n-3，
C3-C1=3•(-
1
2
)2=3•(
1
2
)2，
所以 Cn=C1+（C3-C1）+L+（Cn-2-Cn-4）+（Cn-Cn-2）
=1+3[(
1
2
)3+L+(
1
2
)n-3+(
1
2
)n-1]=1+
3
4
[1-(
1
4
)
n-1
2
]
1-
1
4
=2-(
1
2
)n-1
即Cn=2-(
1
2
)n-1(n∈N*)；…（14分）
综合①②得   Cn=
2-(
1
2
)n-1
-2+(
1
2
)n-1  n为偶数时
n为奇数时
所以 |cm| =2-(
1
2
)n-1，bn=n2+
a
2
n+
a-2
2

所以f(m)=bm-|cm| =n2+
a
2
n+
a-2
2
+(
1
2
)n-1-2，…（15分）
则f(n+1)=(n+1)2+
a
2
(n+1)+
a-2
2
+(
1
2
)n -2，
f(n+1)-f(n)=[(n+1)2+
a
2
(n+1)+
a-2
2
+(
1
2
)n-2]-[n2+
a
2
n+
a-2
2
+(
1
2
)n-1-2]
=2n+1-(
1
2
)n+
a
2
．…（16分）
因为数列{2n+1-(
1
2
)n+
a
2
}对任意n∈N*是单调递增数列，
且-16≤a≤-14
所以当n≥4时，f（n+1）-f（n）
=2n+1-(
1
2
)n+
a
2
≥ 9-
1
16
+
a
2
 ＞
15
16
＞0
即f（4）＜f（5）＜f（6）＜L＜f（n）＜L
所以当1≤n≤3时f（n+1）-f（n）
=2n+1-(
1
2
)n+
a
2
＜0-，
即f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）
当n=4时，f（4）=16+2a+
a-2
2
+
1
8
-2
所以f(n)min=f(4)=16+2a+
a-2
2
+
1
8
-2=
5
2
a+
105
8
 …（18分）
点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
练习册系列答案
相关题目
（2009•浦东新区一模）如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10
3
米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）若sinθ+cosθ=
3
+1
2
，求此时管道的长度L；
（3）问：当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．
（2009•浦东新区一模）已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S2=12，S3=a1-6，则
limn→∞
Sn=
16
16
．
（2009•浦东新区一模）函数y=2sin2x的最小正周期为
π
π
．
（2009•浦东新区一模）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．
（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由．
第一组：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+
π
3
)；
第二组：f1（x）=x2-x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1．
（2）设f1(x)=log2x，f2(x)=log
1
2
x，a=2，b=1，生成函数h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．
（3）设f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=
1
x
(x＞0)，取a＞0，b＞0生成函数h（x）图象的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．
（2009•浦东新区二模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c已知a=2
3
 ， c=2，且
.
sinCsinB0
0b-2c
cosA01
.
=0，求△ABC的面积．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网