题目内容

19．已知平行四边形ABCD的周长为18，又AC=$\sqrt{65}$，BD=$\sqrt{17}$，则该平行四边形的面积是（　　）
A．32B．17.5C．18D．16

分析 设AB=CD=a，AD=BC=b，根据已知周长求出a+b=9，两边平方得到关系式，由余弦定理表示出AC2+BD2，把AC与BD长代入得到关系式，联立求出a与b的值，过C作CE垂直AD于E，如图所示，设DE=x，则AE=5-x，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AE的长，即可求出平行四边形的面积．

解答 解：设AB=CD=a，AD=BC=b，
由周长为18，得到a+b=9，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=81①，
∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴由余弦定理得：AC2+BD2=a2+b2-2abcos∠ABC+a2+b2-2abcos∠BCD=2（a2+b2），
把AC=$\sqrt{65}$，BD=$\sqrt{17}$，代入得：a2+b2=41②，
②代入①得：ab=20，
与a+b=9联立，解得：a=4，b=5，
过C作CE垂直AD于E，如图所示，
设DE=x，则AE=5-x，
由勾股定理得：16-x2=17-（5-x）2=CE2，
解得：x=2.4，CE=3.2，
则S平行四边形=AD•CE=5×3.2=16，
故选：D．

点评 此题考查了余弦定理，完全平方公式的运用，以及勾股定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．

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