Question

（1）已知2^x≤（

1

4

）^x-3，求函数y=（

1

2

）^x的值域．
（2）函数y=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的单调性，解不等式2^x≤（

1

4

）^x-3，求出x的范围（定义域），进而根据指数函数的图象和性质，可得函数y=（

1

2

）^x的值域．
（2）若函数y=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，结合f(

1

2

)=

2

5

，构造关于a，b的方程组，解方程组，可得答案．

解答：解：（1）∵2^x≤（

1

4

）^x-3=2^6-2x
由函数y=2^x为定义在R的增函数
故x≤6-2x
解得x≤2
又∵函数y=（

1

2

）^x为定义在R的减函数
∴当x=2时，函数取最小值

1

4

，无最大值
故函数y=（

1

2

）^x的值域为[

1

4

，+∞）
（2）∵函数y=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(

1

2

)=

2

5

，即

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

解得a=1
∴f(x)=

x

1+x2

点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，函数的值域，函数解析式的求法，函数的奇偶性，是函数图象和性质的简单综合应用．