Question

（1）已知函数f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x₀（x₀≠3，保留4位有效数字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）在曲线y=x-

2

x

上存在两个不同点关于直线y=x对称，求出其坐标；若曲线y=x+

p

x

（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并取a=

1

16

及a=

2

2

加以研究．当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间(0，

1

e

]上单调递减，在区间[

1

e

，1)上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）

Answer 1

分析：（1）①把x=3代入函数解析式，求出f（3），即可把f（3）＜0转化为关于a的不等式，解此不等式，即可求出a的范围．
②因为满足f（x₀）＜0一组数a，x₀有无数多个，只要写出一组即可，注意a在（1）中所求范围内取值，在相应的找出x₀的值．
（2）先设出曲线上关于y=x对称的两点坐标，代入曲线方程，利用两点坐标之间的关系，就可解出这两点
（3）提出的问题是：当a∈（0，

1

e

）时，函数y=a^x与y=log_ax的图象有3个交点；当a∈[

1

e

，1）时，函数y=a^x与y=log_ax的图象有1个交点．把a=

1

16

及a=

2

2

代入两个函数解析式，分别求出交点，验证是否与提出的问题一致．

解答：解：（1）①∵f（x）=a^x-x（a＞1），f（3）＜0
∴a³-3＜0，解得a＜

3	3

又∵a＞1，∴a的取值范围为（1，

3	3

）
②答案不唯一，例如可写a=1，1，x₀=2
（2）设曲线y=x-

2

x

上两个对称点为（m，n），（n，m），
于是

n=m- 2 m m=n- 2 n

，
m-

2

m

-

2

m- 2 m

=m⇒m2=1，m=±1，
当m=1时，n=-1，当m=-1时，n=1
所以两个对称点为（1，-1），（-1，1），
（3）提出的问题是：当a∈（0，

1

e

）时，函数y=a^x与y=log_ax的图象有3个交点；
当a∈[

1

e

，1）时，函数y=a^x与y=log_ax的图象有1个交点．
举例研究如下：显然，当0＜a＜1时，函数y=a^x与y=log_ax的图象在直线y=x上有一个交点．
当a=

1

16

时，有3个交点，1个在直线y=x上，另2个为(

1

2

，

1

4

)、(

1

4

，

1

2

)
当a=

2

2

时，有1个交点，在直线y=x上．

点评：本题主要考查了利用函数解不等式，以及函数与曲线方程之间的关系．