题目内容

(附加题)已知定义在[-1,1]上的奇函数f(x),在x∈(0,1]时,f(x)=
2x4x+1

(1)当x∈[-1,1]时,求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=-2x•f(x)(-1<x<0),求函数y=g(x)的值域;
(3)若关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,求实数λ的取值范围.
分析:(1)定义在R上的奇函数f(x),可得f(0)=0,结合x∈(-1,0)时,f(x)的解析式,函数的奇偶性可得结论;
(2)求出函数g(x)的解析式,写成部分分式的形式,即可求函数y=g(x)的值域;
(3)关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,等价于λ•
2x
4x+1
<1在x∈(0,1]上有解,即λ<
4x+1
2x
在x∈(0,1]上有解,确定右边对应函数的值域,即可得到结论.
解答:解:(1)当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1].
∵f(x)是奇函数,x∈(0,1]时,f(x)=
2x
4x+1

∴f(x)=-f(-x)=-
2-x
4-x+1
=-
2x
4x+1

∵f(0)=f(-0)=-f(0),∴f(0)=0,
∴在区间[-1,1]上,有f(x)=
-
2x
4x+1
,x∈[-1,0)
0,x=0
2x
4x+1
,x∈(0,1]

(2)-1<x<0时,g(x)=2x
2x
4x+1
=
4x
4x+1
=1-
1
4x+1

∵-1<x<0,∴
5
4
4x+1<2

1
2
1
4x+1
4
5
,∴
1
5
<g(x)<
1
2

∴函数y=g(x)的值域为[
1
5
1
2
];
(3)关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,等价于λ•
2x
4x+1
<1在x∈(0,1]上有解
即λ<
4x+1
2x
在x∈(0,1]上有解
令h(x)=
4x+1
2x
,则h′(x)=
2xln2(4x-1)
22x

∵x∈(0,1],∴h′(x)>0,∴h(x)在(0,1]上单调递增
∴2<h(x)≤
5
2

∵λ<
4x+1
2x
在x∈(0,1]上有解
∴λ<
5
2
点评:本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式,考查函数的值域,考查不等式有解,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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