题目内容
(附加题)已知定义在[-1,1]上的奇函数f(x),在x∈(0,1]时,f(x)=
.
(1)当x∈[-1,1]时,求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=-2x•f(x)(-1<x<0),求函数y=g(x)的值域;
(3)若关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,求实数λ的取值范围.
2x | 4x+1 |
(1)当x∈[-1,1]时,求f(x)的解析式;
(2)设g(x)=-2x•f(x)(-1<x<0),求函数y=g(x)的值域;
(3)若关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,求实数λ的取值范围.
分析:(1)定义在R上的奇函数f(x),可得f(0)=0,结合x∈(-1,0)时,f(x)的解析式,函数的奇偶性可得结论;
(2)求出函数g(x)的解析式,写成部分分式的形式,即可求函数y=g(x)的值域;
(3)关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,等价于λ•
<1在x∈(0,1]上有解,即λ<
在x∈(0,1]上有解,确定右边对应函数的值域,即可得到结论.
(2)求出函数g(x)的解析式,写成部分分式的形式,即可求函数y=g(x)的值域;
(3)关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,等价于λ•
2x |
4x+1 |
4x+1 |
2x |
解答:解:(1)当x∈[-1,0)时,-x∈(0,1].
∵f(x)是奇函数,x∈(0,1]时,f(x)=
,
∴f(x)=-f(-x)=-
=-
∵f(0)=f(-0)=-f(0),∴f(0)=0,
∴在区间[-1,1]上,有f(x)=
;
(2)-1<x<0时,g(x)=2x•
=
=1-
,
∵-1<x<0,∴
<4x+1<2
∴
<
<
,∴
<g(x)<
∴函数y=g(x)的值域为[
,
];
(3)关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,等价于λ•
<1在x∈(0,1]上有解
即λ<
在x∈(0,1]上有解
令h(x)=
,则h′(x)=
∵x∈(0,1],∴h′(x)>0,∴h(x)在(0,1]上单调递增
∴2<h(x)≤
∵λ<
在x∈(0,1]上有解
∴λ<
.
∵f(x)是奇函数,x∈(0,1]时,f(x)=
2x |
4x+1 |
∴f(x)=-f(-x)=-
2-x |
4-x+1 |
2x |
4x+1 |
∵f(0)=f(-0)=-f(0),∴f(0)=0,
∴在区间[-1,1]上,有f(x)=
|
(2)-1<x<0时,g(x)=2x•
2x |
4x+1 |
4x |
4x+1 |
1 |
4x+1 |
∵-1<x<0,∴
5 |
4 |
∴
1 |
2 |
1 |
4x+1 |
4 |
5 |
1 |
5 |
1 |
2 |
∴函数y=g(x)的值域为[
1 |
5 |
1 |
2 |
(3)关于x的不等式λf(x)<1在x∈(0,1]上有解,等价于λ•
2x |
4x+1 |
即λ<
4x+1 |
2x |
令h(x)=
4x+1 |
2x |
2xln2(4x-1) |
22x |
∵x∈(0,1],∴h′(x)>0,∴h(x)在(0,1]上单调递增
∴2<h(x)≤
5 |
2 |
∵λ<
4x+1 |
2x |
∴λ<
5 |
2 |
点评:本题考查利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式,考查函数的值域,考查不等式有解,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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