题目内容
【题目】已知函数,且.
(1)求;
(2)证明:存在唯一极大值点,且.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据函数解析式变形为,由可知.构造函数,并求得其导函数,通过讨论的不同取值范围,分析函数的单调性及最值,即可求得.
(2)求得导函数.并构造函数,求得.根据导函数判断出的单调区间,并求得与,从而可知唯一的零点在.即,并判断的单调情况,即可得知存在唯一极大值点.因为,代入方程表示为,再代入即可结合证明不等式成立.
(1)因为,且,所以,
构造函数,则,又,
若,则,则在上单调递增,则当时,矛盾,舍去;
若,则,则当时,,则在上单调递增,则矛盾,舍去;
若,则,则当时,,
则在上单调递减,则矛盾,舍去;
若,则当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,
故,则,满足题意;
综上所述,.
(2)证明:由(1)可知,则,
构造函数,则,
又在上单调递增,且,
故当时,,当时,,
则在上单调递减,在上单调递增,
又,,又,
结合零点存在性定理知,在区间存在唯一实数,使得,
当时,,当时,,当时,,
故在单调递增,在单调递减,在单调递增,
故存在唯一极大值点,因为,所以,
故,
因为,所以.
【题目】足球是世界普及率最高的运动,我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况,社会调查小组得到如下统计数据:
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色学校y(百个) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱.
(已知:,则认为y与x线性相关性很强;,则认为y与x线性相关性一般;,则认为y与x线性相关性较):
(2)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2020年足球特色学校的个数(精确到个).
参考公式和数据:,
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