题目内容

(2011•怀化一模)已知函数f(x)=sin(ωx-
π
3
)+
3
cos(ωx-
π
3
)(ω>0),其图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为
π
4

(1)求f(
π
12
)的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍,纵坐标不变,得到y=g(x)的图象,求[
π
6
,2π]上的最大值和最小值.
分析:(1)图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为
π
4
,推出函数的周期,利用函数的周期求出ω,化简函数的表达式求出函数的解析式,然后求f(
π
12
)的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移
π
6
个单位,得到函数的解析式,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍,纵坐标不变,得到y=g(x)的解析式,分析[
π
6
,2π]上,推出
1
2
x-
π
3
的范围,然后求出函数的最大值和最小值.
解答:解:(1)由题意函数f(x)=sin(ωx-
π
3
)+
3
cos(ωx-
π
3
)(ω>0),
其图象与x轴的一个交点到其邻近一条对称轴的距为
π
4

所以
T
4
=
π
4
,可得T=π,∴ω=
π
=2
∴f(x)=sin(2x-
π
3
)+
3
cos(2x-
π
3
)=2sin2x   
所以f(
π
12
)=2sin
π
6
=1  
(2)将函数f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,得到y=2sin2(x-
π
6
)=2sin(2x-
π
3
);
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到时原来的4倍,得到y=2sin(2×
1
4
x-
π
3
)=2sin(
1
2
x-
π
3
)

∴g(x)=2sin(
1
2
x-
π
3
)

π
6
≤x≤2π
,∴
π
12
1
2
x≤π

-
π
4
1
2
x-
π
3
3

-
2
2
≤sin(
1
2
x-
π
3
)≤1

-
2
≤g(x)≤2

∴当x=
π
6
时,g(x)的最小值为:-
2
;当x=
3
时g(x)的最大值为2.
点评:本题是中档题,考查三角函数的解析式的求法,周期的应用,三角函数的最值的求法,函数的平移变换,考查计算能力.
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