Question

若方程x²+ax+b=0有不小于2的实根，则a²+b²的最小值为（　　）

• A、3
• B、

  16

  5

• C、

  17

  5

• D、

  18

  5

Answer 1

分析：本题首先有一个化归问题，把方程x²+ax+b=0看作以（a，b）为动点的直线l：xa+b+x²=0的方程，把代数中的问题转化为解析几何的问题，这是解题的关键，由点到直线的距离d的最小性得到要求的量与已知之间的关系，构造函数，根据函数的单调性解出最值．

解答：解：将方程x²+ax+b=0看作以（a，b）为动点的直线l：xa+b+x²=0的方程，
则a²+b²的几何意义为l上的点（a，b）到原点O（0，0）的距离的平方，
由点到直线的距离d的最小性知a²+b²≥d²
(

0+0+x2

x2+1

)2=

x4

x2+1

=(x2+1)+

1

x2+1

-2（x≥2），
令u=x²+1，易知f(u)=u+

1

u

-2（u≥5）在[5，+∞）上单调递增，
则f（u）≥f（5）=

16

5

，
∴a²+b²的最小值为

16

5

．
故选B．

点评：本题是一个应用数学中的化归思想来解题的，同时还要用数形结合思想，这是一个综合题，解题过程中用到函数的单调性求最值，是一个中档题．