题目内容
【题目】如图,已知、
,
、
分别为
的外心,重心,
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)是否存在过的直线
交曲线
于
,
两点且满足
,若存在求出
的方程,若不存在请说明理由.
【答案】(1);(2)不存在.
【解析】
(1)设点,利用重心的坐标公式得出点
的坐标为
,可得出点
,由
可得出点
的轨迹
的方程;
(2)由题意得出直线的斜率存在,并设直线
的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与曲线
的方程联立,并列出韦达定理,由
,可得出
代入韦达定理求出
的值,即可得出直线
的方程,此时,直线
过点
或
,从而说明直线
不存在.
(1)设点,则点
,由于
,则点
.
由,可得出
,化简得
.
因此,轨迹的方程为
;
(2)当与
轴重合时不符合条件.
假设存在直线,设点
、
.
将直线的方程与曲线
的方程联立
,
消去得
,由韦达定理得
,
.
,
,
,
,得
,
即,
,
另一方面,得
,解得
.
则直线过点
或
,因此,直线
不存在.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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