题目内容
20．设等比数列{an}的前n项的和为Sn，若S6，S9，S3成等差数列，问2S3，S6，S12-S6能否成等比数列？说明理由．分析 由S6，S9，S3成等差数列，可得2S9=S6+S3，可知：公比q≠1，利用前n项和公式可得：2q6=q3+1．于是${S}_{6}^{2}-2{S}_{3}（{S}_{12}-{S}_{6}）$=$\frac{{a}_{1}^{2}}{（1-q）^{2}}$•（1-q6）（1-q3）（1+q3-2q6）=0，即可得出结论．
解答 解：∵S6，S9，S3成等差数列，
∴2S9=S6+S3，
可知：公比q≠1，
∴$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
化为：2q6=q3+1．
则${S}_{6}^{2}-2{S}_{3}（{S}_{12}-{S}_{6}）$
=$[\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}]^{2}$-$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$$[\frac{{a}_{1}（1-{q}^{12}）}{1-q}-\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}]$
=$\frac{{a}_{1}^{2}}{（1-q）^{2}}$•（1-q6）（1-q3）（1+q3-2q6）
=0，
∴${S}_{6}^{2}$=S3（S12-S6）．
因此2S3，S6，S12-S6能成等比数列．
点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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