题目内容
【题目】(题文)如图所示的某种容器的体积为,它是由圆锥和圆柱两部分连接而成,圆柱与圆锥的底面半径都为
.圆锥的高为
,母线与底面所成的角为
;圆柱的高为
,已知圆柱底面的造价为
元
,圆柱侧面造价为
元
,圆锥侧面造价为
元
.
(1)将圆柱的高表示为底面半径
的函数,并求出定义域;
(2)当容器造价最低时,圆柱的底面半径为多少?
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由题意,根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式,即可得到关于
的函数关系式;
(2)根据圆锥与圆柱的侧面积公式得到容器总造价为,令
,利用导数求得函数
的单调性,即可得到函数
最小值,得到解答.
(1)解:因为圆锥的母线与底面所成的角为,所以
,
圆锥的体积为,圆柱的体积为
.
因为,所以
,
所以.
因为,所以
.因此
.
所以,定义域为
.
(2)圆锥的侧面积,
圆柱的侧面积,底面积
.
容器总造价为
.
令,则
.令
,得
.
当时,
,
在
上为单调减函数;
当时,
,
在
上为单调增函数.
因此,当且仅当时,
有最小值,y有最小值90
元.
所以,总造价最低时,圆柱底面的半径为3cm.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】汽车“定速巡航”技术是用于控制汽车的定速行驶,当汽车被设定为定速巡航状态时,电脑根据道路状况和汽车的行驶阻力自动控制供油量,使汽车始终保持在所设定的车速行驶,而无需司机操纵油门,从而减轻疲劳,促进安全,节省燃料.某汽车公司为测量某型号汽车定速巡航状态下的油耗情况,选择一段长度为240km的平坦高速路段进行测试.经多次测试得到一辆汽车每小时耗油量F(单位:L)与速度v(单位:km/h)()的下列数据:
v | 0 | 40 | 60 | 80 | 120 |
F | 0 | 10 | 20 |
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:
,
,
.
(1)请选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)这辆车在该测试路段上以什么速度行驶才能使总耗油量最少?