题目内容
【题目】已知椭圆
（
）的左焦点为
，点
为椭圆
上任意一点，且
的最小值为
，离心率为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，若动直线
与椭圆交于不同两点
、
（、都在
轴上方），且
.
（i）当为椭圆与
轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（ii）对于动直线，是否存在一个定点，无论
如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(Ⅰ)
；（Ⅱ）（i）
；（ii）存在定点
.
【解析】
（I）结合椭圆的性质，计算a,b的值，即可。（II）（i）计算直线AF的斜率，得到BF的斜率，得到直线BF的方程，代入椭圆方程，得到B点坐标，计算AB直线的斜率，结合点斜式，计算方程，即可。（ii）设出直线AF的方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，得到直线AB的斜率，设出直线AB的方程，令y=0，计算x的值，计算点坐标，即可。
解：（I）设椭圆的标准方程为：
（
）
离心率为
，
，
，
点
为椭圆
上任意一点，且
的最小值为
，
，
，
解得
，
，
椭圆的方程为.
（II）
（i）由题意
，
，
，
，
直线
为：
，
代入，得
，解得
或
，
代入
，得
，舍，或
，
.
，直线
的方程为：.
（ii）存在一个定点
，无论
如何变化，直线
总经过此定点.
证明：，
在于
轴的对称点
在直线
上，
设直线的方程为：
，
代入
，得
，
由韦达定理得
，
，
由直线的斜率
，得的方程为：
令
，得：
，
，
，
，
对于动直线，存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.
名校课堂系列答案
【题目】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
维修次数 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），
表示购机的同时购买的维修服务次数.
（1）若=10，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8，求n的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？
